Hi，大家好，我是编程小6，很荣幸遇见你，我把这些年在开发过程中遇到的问题或想法写出来，今天说一说欧拉筛（线性筛）& 欧拉函数,希望能够帮助你!!!。

今天又复习了一下欧拉筛法，在这做个笔记。

欧拉筛（线性筛）

一般情况下，有一种筛法叫埃什么什么的。是$O(n log log n)$，非常接近于$O(n)$，但也会有坑爹的出题人来个10000000故意卡你。

原理

这可能原理有点妙啊。

• 设$pr[i]$为i最小质因子，然后从2开始计算
• 如果$pr[i]$没有在前面得到，就说明i是质数，所以$pr[i]=i,prime[++len] = i$。
• 对于i，枚举每一个不超过$pr[i]$的质数$prime[j]$，所以$pr[ i*prime[j] ] = prime[j]$

这样可以发现，每一个数只会被它最小的质因子筛去，所以保证了算法为$O(n)$的。

我们见一下代码：

代码

void find_prime(int n)
{
    memset(isprime,0,sizeof(isprime));
    sp = 0;
    for(int i = 2;i <= n;i++)
    {
        if(!isprime[i])
        {
            prime[++sp] = i;
            isprime[i] = i;
        }
        for(int j = 1;j <= sp && i * prime[j] <= n;j++) {
            isprime[i*prime[j]] = prime[j];
            if(prime[j] >= isprime[i]) break;//用isprime[i]来表示i的最小质因子,可能用mod比较慢 
        }
    }
}

在break那一行，有的人会用
　　　　　　if(i % prime[j]==0) break;
不过也可以通过isprime[i]保存i最小的质因子来与prime[j]做比较。
但不管怎么写，我人认为最重要的就是含break的那个语句

欧拉函数

不过，仅仅筛素数就显得线性筛不是那么必要。
线性筛最科学的战场——求积性函数
作为蒟蒻，我以欧拉函数来举例：

代码

先粗浅地看一下代码

void find_prime(int n)
{
    memset(isprime,0,sizeof(isprime));
    sp = 0;
    for(int i = 2;i <= n;i++)
    {
        if(!isprime[i])
        {
            prime[++sp] = i;
            isprime[i] = i;
            phi[i] = i-1;//①
        }
        for(int j = 1;j <= sp && i * prime[j] <= n;j++) {
            isprime[i*prime[j]] = prime[j];
            if(prime[j] >= isprime[i]) {
                phi[i*prime[j]] = phi[i]*prime[j];//②
                break;
            }
            phi[i*prime[j]] = phi[i]*(prime[j]-1);//③
        }
    }
}

原理

1. 每个数字只会被筛到一次
2. 当正整数p为素数时，$phi[p] = p-1$
3. 欧拉函数既然是积性函数，就说明当a与b互质时，满足$phi(a*b)=phi(a)*phi(b)$
4. 当p为素数时， $phi(p^k)=(p-1)*p^{k-1}$
5. 我们保证了每次的$prime[j]$小于等于i的最小质因子，所以当$prime[j] < isprime[i]$时，$phi[ i*prime[i] ]=phi[i] * phi[j]=phi[i] * (j-1)$，而在i%prime[j]==0时，直接乘上$prim[j]$。

上述的五点：1表明每个数值被算一次。2解释了①。3、4、5解释了②和③。

结

还有，本文参考：http://www.cnblogs.com/zhuohan123/p/3233011.html

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