Hi，大家好，我是编程小6，很荣幸遇见你，我把这些年在开发过程中遇到的问题或想法写出来，今天说一说杨辉三角的性质_杨辉三角的性质与应用研究报告,希望能够帮助你!!!。

杨辉三角

杨辉三角有 第0层， 所以第n层，与第n行含义不同
第n行 为第n-1 层，下面结论 要分辨  行与层

第0层  1
第1层  1 1
第2层  1 2 1
第3层  1 3 3 1
第4层  1 4 6 4 1
第5层  1 5 10 10 5 1
第6层  1 6 15 20 15 6 1
第7层  1 7 21 35 35 21 7 1
第8层  1 8 28 56 70 56 28 8 1
第9层  1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
    

$$\begin{gathered} (a+b{)}^0=1 \\ (a+b{)}^1=a+b \\ (a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2 \\ (a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3 \end{gathered}$$

1. 杨辉三角的第n层的数，对应二项式 $(a+b{)}^n$ 展开式n的系数

2. 每一层 对应元素 $C_n^0$  $C_n^1$ $\cdots$ $C_n^k$  $\cdots$$C_n^{n-1}$   $C_n^n$

3. 两条斜边数字 都为1 ，而其余数 为上层两数之和$C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$

4. 第n层的 第m个数 与第n-m 个数 相等 $C_n^m=C_n^{n-m}$

5. 每层数字和 为 $2^n$ （n为层数）

6. 依据 性质5 ，可得出 前n 行（0层到n-1 层）的和 符合 公比为2

   等比公式 $S_n=\frac{a1\ast (1-q^n)}{(1-q)}=2^{n+1}-12^0+2^1+2^2+2^3+2^4=2^5-1$

7. 前n 行 共有多少个数字 ，（即前n-1层），符合等差 数列公式，公差为1

   $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=n+\frac{n^2-n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}$ （n 为行 ，即n-1 层）

8. 求 前n行 所有 偶数的个数，

​ (注意公式计算的结果 是 从0 层开始的 前n行的 偶数个数)

​ （前4行 对应的 从0 层到 第 3层）

$$\begin{gathered} S_0=S_1=0 \\ {S}_{2n}=3S_n+\frac{n(n-1)}{2} \\ {S}_{2n+1}=2S_n+S_{n+1}+\frac{n(n+1)}{2} \end{gathered}$$

​ 知道每一层 偶数的个数，递归+记忆化(解决多组数据) +大数

​ 就可以求 前n行 一共的个数

具体代码：https://blog.csdn.net/nefu__lian/article/details/108931799

9. 思考 前n行 所有 奇数个数， 可以由 性质 7，8 共同得到

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