求圆周长，我们可以先在圆内构造内接N边形，边长设为a，正边形的周长为n*a，当n不断增大的时候，正边形的边界不断趋近圆的边界，这就表示多边形周长不断接近圆的周长C，即：n趋近于无穷，C=n*a。

此外，如果我们按上述方法计算出圆周长，是不是就可以计算π的值，C=n*a=2π*r。我国古代数学家祖冲之就是利用这种割圆术之法来计算出高精度的圆周率。

随着现代计算机技术的发展，我们可以利用计算机软件，如MATLAB，来方便快速地计算圆的内接多边形的周长，这也是当代圆周率精度不断提高的原因之一。

下面，我们就用MATLAB解决这样一个问题：利用割圆术之法在单位圆周内构造内接N边形：求其周长，使其与圆周长误差<0.0001。（当然，如果求π，我们可以把误差的数值设置的更小，如亿分之一，利用C=n*a=2π*r求出高精度的π）

%下面的这段代码实现的是画出任意圆的内接多边形%

clear all,close all,clc

%参数初始化%

n=10; %正多边形的边数

r=1; %圆的半径

x0=0;y0=0; %圆心

%画圆%

theta=0:2*pi/2000:2*pi;

x=x0+r*cos(theta);

y=y0+r*sin(theta);

plot(x,y,'r')

hold on

plot(x0,y0,'r+')

axis equal

%画内接多边形%

m=2*pi/n;

x1=x0+r*cos(m.*(1:n));

x1=[x1 x1(1)];

y1=y0+r*sin(m.*(1:n));

y1=[y1 y1(1)];

plot(x1,y1,'g-')

text(x0,y0,' \leftarrow 圆心','FontSize',18,'Color','c')

n=5,圆心(0,0),半径=1

n=10,圆心(0,0),半径=1

n=20,圆心(0,0),半径=1

从上面的三幅图可以看出，随着内接多边形的边数增多，多边形边界确实在越来越解决圆的边界。

%下面的代码实现的是利用割圆术之法的思想在单位圆周内构造内接N边形，求其周长，使其与圆周长误差<0.0001。运行时间在1分钟左右%

syms n

r=1;

a=sqrt((r*cos(2*pi/n)-r)^2+(sin(2*pi/n))^2);%多边形的边长,即圆与内接多边形相邻两个交点的距离，设A(r,0),B(r*cos(2*pi/n),r*sin(2*pi/n))

s=r*2*pi/n;%2*pi/n的角度所对应的弧长

q=(s-a)/s;

n=floor(solve(q-0.0001))+1

C1=double(n*sqrt((r*cos(2*pi/n)-r)^2+(sin(2*pi/n))^2))

C2=2*pi*r

运行结果

所以，n=129时，即在单位圆内构造129边形，可使其圆周长误差<0.0001，并且其周长为6.2826。

n=129,圆心(0,0),半径=1

从上图可以看出，圆内接129边形的边界几乎与圆的边界重合，表示二者的周长已经非常接近。

最后，感谢您的耐心阅读！