Hi，大家好，我是编程小6，很荣幸遇见你，我把这些年在开发过程中遇到的问题或想法写出来，今天说一说讲一点数学2：浅谈微积分，“微分方程”与“级数展开”的魅力「终于解决」,希望能够帮助你!!!。

这是为一本书写的前言，简单介绍了与物理密切相关的基础数学知识，主要是微积分与线性代数的篇章。

那本书没能出版，在此把部分内容奉上。

（节选二）

现在终于可以正式欣赏微积分了，因为微积分的主角是函数，微分是对函数的微分，积分也是对函数的积分。观察下面这个函数的图像，试着问自己两个问题：

• 在曲线上的每一点处，曲线的方向指向哪里？
• 曲线与横着的数轴围成的阴影部分的面积是多少？

第一个问题引出了导数，第二个问题引出了定积分。

理解“无穷小”

让我们先来看第一个问题，这其实就是在求曲线上任意一点的切线。

如果一个点沿着曲线移动，那么它的运动方向在随时变化，在它到达某个点的瞬间的移动方向就是曲线上这一点的切线方向，在这个方向上无限延伸，就得到了切线。

相应的还有割线，将曲线上的两个点用直线连起来，就得到了割线。

分别用直线连接下图中的AB、AC、AD，可以发现，另一个点离A点越近，得到的割线就越接近A点的切线。如果另一个点离A点的距离是“无穷小”，那么得到的割线就是A点的切线！

再来看一看第二个问题，如果把阴影部分竖着分割，得到一个个的矩形，把这些矩形的面积加起来就接近于阴影部分的面积。

分割得越细，得到的面积就越接近阴影部分的面积。如果每个矩形的底边的长度都是“无穷小”，那么得到的面积就是阴影部分的面积！

上面谈论的这些就是微积分的基本思想，它们都涉及到一个概念：无穷小。当“无穷小的操作”出现，割线变成了切线，折线围成的面积变成了曲线围成的面积。

那么究竟什么是无穷小？

其实很简单，无穷小就是比你能想到的任何数都要小，但不是零。没错，这是一种耍无赖的定义，不过我们只能这样定义数学中的无穷小，这涉及到过于严苛的数学，在这里就不多作讨论了。

值得一提的是，物理学中也存在着类似于无穷小的概念，这就是“普朗克尺度”，在本书的后续章节会提到它。

谈一谈“导数”

现在要把微积分的基本思想转换成具体的计算了。

一个函数x=f(t)，当t增加，x也会相应地增加，如果t增加的量是无穷小，那么x增加的量也会是无穷小。

• t的无穷小增加量可以表示成dt
• x的无穷小增加量可以表示成dx

可以取个名字，把dt叫做t的微分，把dx叫做x的微分，d就是微分符号；dx/dt就可以表示函数x=f(t)的图像在任意一点的切线的方向，也就是函数x=f(t)的导数。

没错，可以把导数看成是两个微分的比值，导数也叫微商。

还可以用其它形式表示导数，比如x’=dx/dt，再比如f ’(t)=dx/dt。导数的形式并不重要，用哪种形式表示导数都可以，真正重要的是理解导数的思想。

至于dx/dt如何描述方向，这里有必要谈论一下三角函数。

描述方向要用数学中的角度，大部分人了解到的衡量角度的方法是“角度制”，把圆平均分成360份。在这种衡量方法中，直角是90度。

而在现代科学中使用的是“弧度制”，这种方法用角度对应的弧长与半径的比值来衡量角度，单位是rad。在这种衡量方法中，直角是π/2（只需要了解圆的周长公式，就可以轻松理解“弧度制”）。

对于角度，有一种专门的函数：三角函数。三角函数是关于角度的函数，随着角度的变化而变化，所以三角函数也可以表示方向。

常用的三角函数有三种：

• 正弦函数
• 余弦函数
• 正切函数

它们都可以用直角三角形的某两个边长的比值来定义。导数其实就是一种正切函数，所以它可以表示曲线上某一点的切线方向。

谈一谈“定积分”

积分的数学表达也很简单，如果每个矩形的底边长度都是无穷小，那么可以用dt来表示，一个小矩形的面积就是x·dt或者是f(t)·dt。

所谓的积分就是把这些小矩形的面积加起来，∫x·dt就表示相加的结果，∫就是积分符号。如果阴影部分的范围是从t=a到t=b，那么面积（定积分）就是:

微积分最神奇的地方就在于导数和定积分之间有着巧妙的关系，它被称为微积分基本定理。

这并不难理解，x’=dx/dt也就是说dx=x’·dt，右边是不是有些眼熟？

它很像上面提到的定积分的一部分，用x’·dt替换定积分中的x·dt就可以得到：

积分符号和微分符号直接放在一起的时候可以“抵消”，比如x=f(t)，那么：

把f(t)的导数表示成f‘(t)，由此可以得到微积分基本定理：

我们可以用简单的例子来展示微积分基本定理的正确性：

微积分的“徒子徒孙”

至此，你已经欣赏了微积分本身的大部分内容，而在物理学中，更重要的是微积分衍生出的知识：微分方程和级数展开。

物理学中的那些精妙的方程（麦克斯韦方程组、爱因斯坦场方程、狄拉克方程、……）都是微分方程。

求解这些微分方程可以得到自然界的各种函数关系（比如电荷分布与周围电场之间的函数关系、时空弯曲程度与周围物质分布之间的函数关系、……），不过这会涉及到较为复杂的数学，所以微分方程的话题在本书中就到此为止。

至于级数展开，本书已经在前面的内容中提到过这个名字，利用它可以写出任意一个函数的解析式（用级数的形式），像前面提到的x=4t2这样的解析式也可以写成级数的形式。

级数其实就是把一些数或简单的函数加起来，并且保持这一长串的式子的形式，我们通常说的都是无穷级数，要把无穷多个数或简单的函数加起来。

为了可以写出任意一个函数的解析式，可以使用两种级数：

• 泰勒级数
• 傅里叶级数

傅里叶级数就是把无穷多个三角函数加起来，也就是说任意一个函数的图像都可以由无穷多个三角函数的图像加起来（严格地说，这里要使用的不是傅里叶级数，而是傅里叶变换）。

每一个三角函数的图像都可以看成是有着一定频率的周期性振动，所以自然界的任何函数都可以看成是由无穷多个周期性振动组成的，世间万物都在振动。

至于泰勒级数，它与十进制的表示方法很像。比如有一个数字342.56，把它用类似于泰勒级数的方法表达就是:

在这个式子里，100、10、1、0.1、0.01分别是10的2次方、1次方、0次方、-1次方、-2次方。

对于函数x=f(t)，泰勒级数就是把f(t)用t的0次方、1次方、2次方、……分别乘以不同的数再加起来，至于乘的数是多少，需要用导数和高阶导数来计算。

高阶导数就是连续对一个函数求多次导数，连续求两次导数就是二阶导数，连续求三次导数就是三阶导数，以此类推。

在函数的泰勒级数表达式中，越靠右边的项被称为“高阶项”（它们的系数需要求高阶导数来得到）。

如果想用泰勒级数精确地表达一个函数的解析式，那么就需要无穷多项，但是如果我们省略高阶项，只取靠左边的一项或两项会发生什么？

可以看到我们取的项越多就越接近精确的函数图像，取八项或九项就已经非常接近精确的图像，而精确的图像是由无穷多项组成的。

你应该也发现了，很多高阶项是“无关紧要”的，我们可以只取有限的项来近似描述函数，这种“近似”在本书的后续内容中会多次出现，可以帮助我们简化很多公式的计算。